Voici comme promis, la correction tant attendue de l’exercice qui vous a été posé dans la leçon sur la trigonométrie du triangle rectangle. Si pensez avoir raté un épisode, cliquez sur le bouton vert plus bas pour vous rafraichir l’esprit sur l’utilisation des propriétés sur les triangles rectangles.

Énoncé

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que :

 AB = 5~ cm~~ et~~ \widehat{ABC} = 30^{\circ}

Questions

  1. Calculer la valeur de BC
  2. Calculer la valeur de AC

Si vous souhaitez consulter le cours résumé sur la trigonométrie, vous pouvez cliquer sur le bouton ci-dessous :


Correction exercice

Introduction

On commence par dessiner la figure en reportant sur celle-ci les données indiquées dans l’énoncé :

Triangles rectangle pour exercice de trigonométrie

Question n°1 : Calcul de l’hypoténuse du triangle rectangle

Dans le triangle ABC rectangle en A, j’utilise la formule du cosinus :

 ~~~~~~ \displaystyle \cos \widehat{ABC}=\frac{c\widehat{o}t\acute{e}~adjacent~\grave{a}~\widehat{ABC}}{hypoth\acute{e}nuse} \medskip \\ \Leftrightarrow ~ \cos \widehat{ABC} = \frac{BA}{BC} \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~ \cos 30^{\circ}=\frac{5}{BC} \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~~~~~~ {BC}=\frac{5}{\cos 30^{\circ}} \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~~~~~~ {BC} \approx 5,77 cm

Donc,

BC est égale à 5,77 cm.

Voici à quoi ressemble le triangle, une fois que nous avons reporté notre résultat sur la figure :

Triangle rectangle pour exercice de trigonométrie. Figure complétée

Question n°2 : Calcul du 2ème côté du triangle rectangle

Dans le triangle ABC rectangle en A, j’utilise la formule de la tangente :

 ~~~~~~ \displaystyle \tan \widehat{ABC}=\frac{ c\widehat{o}t\acute{e}~oppos\acute{e}~\grave{a}~\widehat{ABC}}{c\widehat{o}t\acute{e}~adjacent~\grave{a}~\widehat{ABC}} \medskip \\ \Leftrightarrow ~ \tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB} \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~ \tan 30^{\circ}=\frac{AC}{5} \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~~~~~~ AC=5 \times\tan 30^{\circ} \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~~~~~~ AC \approx 2,89 cm

Donc,

AC est égale à 2,89 cm.

Et, nous pouvons enfin observer la figure entièrement complétée :

Triangle rectangle pour exercice de trigonométrie. Figure entièrement complétée

Nous avons maintenant terminer cet exercice !

Pour conclure, nous allons faire un petit bonus !!!

Nous pouvons observer qu’il reste encore un angle inconnu sur le triangle. En effet, nous connaissons les valeur des l’angles B et  qui sont respectivement de 30° et 90° (angle droit).

Pour déterminer la valeur de l’angle restant, nous n’avons pas besoin d’avoir recours aux formules de trigonométrie.

Eh oui !!!

On sait que la sommes des angles d’un triangle est égale à 180°. On peut donc en déduire la relation suivante :

 ~~~~~ \widehat{ABC}+\widehat{BCA}+\widehat{CAB} =180^{\circ} \\ \Leftrightarrow ~~~~~~ 30^{\circ}+\widehat{BCA}+ 90^{\circ}=180^{\circ} \\ \Leftrightarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \widehat{BCA}=180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ} \\ \Leftrightarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \widehat{BCA}=60^{\circ}

Eh voilà !!

Nous connaissons maintenant la valeur des trois angles de ce triangle rectangle.


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