Devenez un expert dans la soustraction des fractions

La soustraction des fractions, c’est en faite la même chose que l’addition des fractions. Donc si vous avez bien suivi la leçon qui vous explique comment additionner et soustraire des fractions, cette correction d’exercice ne sera pas trop difficile pour vous.

Consulter donc cette courte leçon, qui résume tout ce que vous devez savoir pour soustraire deux fractions entre-elles :

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SOMMAIRE DE L'ARTICLE

Exercice : Soustraction des fractions

Enoncé

Soustraire les fractions suivantes et donner leur résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

$a) ~\displaystyle{\frac{5}{3}-\frac{4}{3}} \medskip \\ b) ~\displaystyle{\frac{7}{2}-\frac{9}{2}} \medskip \\ c) ~\displaystyle{\frac{5}{3}-\frac{4}{5}} \medskip \\ d)~\displaystyle{ \frac{8}{15}-\frac{1}{5}} \medskip \\ e) ~\displaystyle{\frac{10}{16}-\frac{7}{2}} \medskip \\ f) ~\displaystyle{2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}$

Correction de la question a)

$a) ~\displaystyle{\frac{5}{3}-\frac{4}{3}}$

Etape 1 : Mettre les fractions au même dénominateur

En premier lieu, on peut remarquer que les deux dénominateurs sont : 3 et 3.

Nous n’avons alors rien à faire car les dénominateur sont identiques sur les deux fractions.

Nous pouvons donc passer la soustraction des fractions entre-elles.

Etape 2 : Soustraction des fractions

Les dénominateurs étant identiques sur les deux fractions, nous pouvons les soustraire sans problème.

Par ailleurs, pour soustraire deux fractions, on soustrait uniquement les numérateurs ensembles :

$\displaystyle{\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=\frac{5-4}{3}=\frac{1}{3}}$

Etape 3 : Fraction irréductible

En regardant le résultat trouvé précédemment, on observe que la fraction est déjà irréductible car aucun facteur commun ne peut être identifier entre le numération et le dénominateur de la fraction.

Voici donc le résultat final de la soustraction de ces deux fractions :

$\displaystyle{\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=\frac{1}{3}}$

Correction de la question b)

$b) ~\displaystyle{\frac{7}{2}-\frac{9}{2}}$

Etape 1 : Mettre les fractions au même dénominateur

En premier lieu, on peut remarquer que les deux dénominateurs sont : 2 et 2.

Nous n’avons alors rien à faire car les dénominateur sont identiques sur les deux fractions.

Nous pouvons donc passer à l’étape de la soustraction des fractions.

Etape 2 : Soustraction des fractions

Les dénominateurs étant identiques sur les deux fractions, nous pouvons donc les soustraire sans problème.

De plus, pour soustraire deux fractions, on soustrait uniquement les numérateurs entre-eux :

$\displaystyle{\frac{7}{2}-\frac{9}{2}=\frac{7-9}{2}=\frac{-2}{2}}$

Etape 3 : Fraction irréductible

En regardant le résultat trouvé précédemment, on observe que la fraction n’est pas irréductible.

D’ailleurs, en analysant cette fraction, on constate qu’on peut aisément simplifier par 2 en haut et en bas de la fraction. Ce qui donne le résultat suivant :

$\displaystyle{\frac{-2}{2}=\frac{-1}{1}}=-1$

Etape 4 : Remarques

Pour conclure, à ce résultat, nous n’étions pas obligé de simplifier par 2 la fraction précédente. Il siffusait de savoir que :

$\displaystyle{\frac{1}{1}}=1 \medskip \\ \displaystyle{\frac{2}{2}}=1 \medskip \\ \displaystyle{\frac{3}{3}}=1 \medskip \\ \displaystyle{\frac{4}{4}}=1$

…

$\displaystyle{\frac{99}{99}}=1$

De même lorsqu’il y a un signe moins, on a :

$\displaystyle{-\frac{1}{1}}=-1 \medskip \\ \displaystyle{-\frac{2}{2}}=-1 \medskip \\ \displaystyle{-\frac{3}{3}}=-1$

…

$\displaystyle{-\frac{99}{99}}=-1$

Correction de la question c)

$c) ~\displaystyle{\frac{5}{3}-\frac{4}{5}}$

Etape 1 : Mettre les fractions au même dénominateur

En premier lieu, on peut remarquer que les deux dénominateurs sont : 3 et 5.

On constate donc que les deux dénominateurs ne sont pas identiques.

Pour obtenir les mêmes dénominateurs, nous devons trouver un facteur commun aux deux chiffres 3 et 5.

Ici, on sait que $3\times 5=15$

On peut donc en déduire que le dénominateur commun de ces deux fractions est 15. On souhaite donc mettre ces deux fractions sur un même dénominateur qui est ici : 15.

En outre, pour mettre la première fraction sur le dénominateur 15, nous devons la multiplier par 5 en haut et en bas de la fraction :

$\displaystyle{\frac{5}{3}=\frac{5\times5}{3\times5}=\frac{25}{15}}$

Pour la deuxième fraction, nous devons multiplier la fraction par 3 en haut et en bas pour obtenir un dénominateur de 15 :

$\displaystyle{\frac{4}{5}=\frac{4\times3}{5\times3}=\frac{12}{15}}$

Observons maintenant le calcul complet avec toutes les étapes :

$\displaystyle{\frac{5}{3}-\frac{4}{5}=\frac{5\times5}{3\times5}-\frac{5\times5}{3\times5}=\frac{25}{15}-\frac{12}{15}}$

Nous pouvons donc passer la soustraction des fractions entre-elles.

Etape 2 : Soustraction des fractions

Les dénominateurs étant identiques sur les deux fractions, nous pouvons donc les soustraires sans difficulté.

De plus, pour soustraire deux fractions, on soustrait uniquement les numérateurs entre-eux :

$\displaystyle{\frac{25}{15}-\frac{12}{15}=\frac{25-12}{15}=\frac{13}{15}}$

Etape 3 : Fraction irréductible

Voici donc le résultat final de la soustraction de ces deux fractions :

$\displaystyle{\frac{5}{3}-\frac{4}{5}=\frac{13}{15}}$

Correction de la question d)

$d) ~\displaystyle{ \frac{8}{15}-\frac{1}{5}}$

Calcul complet de la soustration des fractions

Maintenant que nous sommes devenu des experts dans la soustraction des fractions, nous pouvons aller un peu plus vite dans les calculs des soustractions suivantes.

Dénominateurs différents : 15 et 5.

On sait que $3\times 5=15$

Voici donc ci-dessous le calcul complet :

$\displaystyle{\frac{8}{15}-\frac{1}{5}=\frac{8}{15}-\frac{1\times3}{5\times3}=\frac{8}{15}-\frac{3}{15}=\frac{8-3}{15}=\frac{5}{15}=\frac{1\times5}{3\times5}=\frac{1}{3}}$

Nous constatons que la fraction est maintenant irréductible. Nous avons donc terminé ce calcul.

Correction de la question e)

$e) ~\displaystyle{\frac{10}{16}-\frac{7}{2}}$

Etape 1 : Mettre les fractions au même dénominateur

Dénominateurs différents : 16 et 2.

On voir que : $2\times 8=16$

Voici donc ci-dessous le calcul :

$\displaystyle{\frac{10}{16}-\frac{7}{2}=\frac{10}{16}-\frac{7\times8}{2\times8}=\frac{10}{16}-\frac{56}{16}}$

Etape 2 : Soustraction des fractions

Les dénominateurs étant identiques sur les deux fractions, nous pouvons donc les soustraire sans difficulté :

$\displaystyle{\frac{10}{16}-\frac{56}{16}=\frac{10-56}{70}=\frac{-46}{16}}$

Etape 3 : Fraction irréductible

En regardant le résultat trouvé précédemment, on observe que la fraction n’est pas encore irréductible. Simplifions donc cette fraction.

On sait que $23\times 2=46$ et $8\times 2=16$

On remplace donc 46 par $23\times 2$ et 16 par $8\times 2$ dans la fraction :

$\displaystyle{\frac{-46}{16}=-\frac{23\times2}{8\times2}=-\frac{23}{8}}$

Nous constatons que la fraction est maintenant irréductible. Nous avons donc terminé ce calcul.

Correction de la question f)

$f) ~\displaystyle{2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}$

Essayons d’aller un peu plus vite dans les calculs des additions suivantes.

Calcul complet de l’addition des fractions :

Dénominateurs différents : 1, 2, 3 et 6.

Remarque : Nous avons bien un dénominateur égale à 1 car vous devez savoir par coeur que :

$2=\displaystyle{\frac{2}{1}}$

On sait que $1\times 6=6$ et $2\times 3=6$ et $3\times 2=6$ .

Voici donc ci-dessous le calcul complet :

$\displaystyle{2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{1}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2\times 6}{1\times 6}-\frac{1\times3}{2\times3}-\frac{1\times2}{3\times2}-\frac{1}{6}=\frac{12}{6}-\frac{3}{6}-\frac{2}{6}-\frac{1}{6}} \medskip \\ =\displaystyle{\frac{12-3-2-1}{6}=\frac{6}{6}}=1$

Nous constatons que la fraction est déjà irréductible. Nous avons donc terminé ce calcul.

Les exercice suivants sont à votre portée.

Un clique sur le bouton ci-dessous vous suffit pour vous entraîner sur l’exercice 1 qui porte sur l’addition des fractions :

Accédez à l’Exercice 1 : Addition des fractions

Cliquez sur ce bouton pour résoudre l’exercice 3 qui vous permettra de devenir un expert sur la multiplication des fractions :

Voir l’Exercice 3 : Multiplication des fractions

Ce bouton vous permet d’accéder à l’exercice 4 où vous pourrez diviser des fractions comme un pro :

Découvrez l’Exercice 4 : Division des fractions