Devenez un maître dans l'addition des fractions

L’addition des fractions c’est un horreur ! Qui n’a jamais rêvé un jour de ne plus jamais avoir de difficultés dans la manipulation de ces satanées fractions ? Les fractions sont tellement souvent présentes en mathématiques, qu’on finit parfois par en faire une overdose ! N’êtes-vous pas d’accord ?

Savoir additionner des fractions peut d’avérer très utile, surtout lorsqu’il s’agit de fractions qui n’ont pas le même dénominateur. C’est à ce moment-là qu’on se dit qu’on aurait peut-être dû relire sa leçon avant de ce lancer dans des exercices. Mais attendez ! Ne courez pas chercher votre cahier de maths !

Vous pouvez tout simplement consulter cette courte leçon, qui résume tout ce que vous devez savoir pour additionner deux fractions entre-elles :

Accédez à leçon sur les fractions

Exercice : Addition des fractions

Enoncé

Additionner les fractions suivantes et donner leur résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

$a) ~\displaystyle{\frac{5}{3}+\frac{4}{3}} \medskip \\ b) ~\displaystyle{\frac{7}{2}+\frac{9}{2}} \medskip \\ c) ~\displaystyle{\frac{5}{3}+\frac{4}{5}} \medskip \\ d) ~\displaystyle{\frac{8}{15}+\frac{5}{3}} \medskip \\ e) ~\displaystyle{\frac{15}{35}+\frac{7}{2}} \medskip \\ f) ~\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{4}{3}+\frac{3}{4}}$

Correction de la question a)

$a) ~\displaystyle{\frac{5}{3}+\frac{4}{3}}$

Etape 1 : Mettre les fractions au même dénominateur

En premier lieu, on peut remarquer que les deux dénominateurs sont : 3 et 3.

Nous n’avons alors rien à faire car les dénominateur sont identiques sur les deux fractions.

Nous pouvons donc passer à l’étape de l’addition des fractions entre-elles.

Etape 2 : Addition des fractions

Les dénominateurs étant identiques sur les deux fractions, nous pouvons les additionner sans problème.

Par ailleurs, pour additionner deux fractions, on additionne uniquement les numérateurs ensembles :

$\displaystyle{\frac{5}{3}+\frac{4}{3}=\frac{5+4}{3}=\frac{9}{3}}$

Etape 3 : Fraction irréductible

En regardant le résultat trouvé précédemment, on observe que la fraction n’est pas irréductible.

D’ailleurs, en analysant cette fraction, on constate que :

$9=3 \times 3$

Si on remplace alors 9 par $3 \times 3$ dans la fraction, on a alors :

$\displaystyle{\frac{9}{3}=\frac{3\times3}{3}}$

Par conséquent, on peut enfin simplifier la fraction par 3 en haut et en bas de la fraction :

$\displaystyle{\frac{3\times3}{3}= \frac{1}{3}}$

Correction de la question b)

$b) ~\displaystyle{\frac{7}{2}+\frac{9}{2}}$

Etape 1 : Mettre les fractions au même dénominateur

En premier lieu, on peut remarquer que les deux dénominateurs sont : 2 et 2.

Nous n’avons alors rien à faire car les dénominateur sont identiques sur les deux fractions.

Nous pouvons donc passer l’addition des fractions entre-elles.

Etape 2 : Addition des fractions

Les dénominateurs étant identiques sur les deux fractions, nous pouvons donc les additionner sans problème.

De plus, pour additionner deux fractions, on additionne uniquement les numérateurs entre-eux :

$\displaystyle{\frac{7}{2}+\frac{9}{2}=\frac{7+9}{2}=\frac{16}{2}}$

Etape 3 : Fraction irréductible

En regardant le résultat trouvé précédemment, on observe que la fraction n’est pas irréductible.

D’ailleurs, en analysant cette fraction, on constate que :

$16=8 \times 2$

Si on remplace alors 16 par $8 \times 2$ dans la fraction, on a alors :

$\displaystyle{\frac{16}{2}=\frac{8\times2}{2}}$

Par conséquent, on peut simplifier la fraction par 2 en haut et en bas de la fraction. Ce qui donne :

$\displaystyle{\frac{8\times2}{2}=}8$

Correction de la question c)

$c) ~\displaystyle{\frac{5}{3}+\frac{4}{5}}$

Etape 1 : Mettre les fractions au même dénominateur

En premier lieu, on peut remarquer que les deux dénominateurs sont : 3 et 5.

On constate donc que les deux dénominateurs ne sont pas identiques.

Pour obtenir les mêmes dénominateurs, nous devons trouver un facteur commun aux deux chiffres 3 et 5.

Ici, on sait que $3\times 5=15$

On peut donc en déduire que le dénominateur commun de ces deux fractions est 15. On souhaite donc mettre ces deux fractions sur un même dénominateur qui est ici : 15.

En outre, pour mettre la première fraction sur le dénominateur 15, nous devons la multiplier par 5 en haut et en bas de la fraction :

$\displaystyle{\frac{5}{3}=\frac{5\times5}{3\times5}=\frac{25}{15}}$

Pour la deuxième fraction, nous devons multiplier la fraction par 3 en haut et en bas pour obtenir un dénominateur de 15 :

$\displaystyle{\frac{4}{5}=\frac{4\times3}{5\times3}=\frac{12}{15}}$

Observons maintenant le calcul complet avec toutes les étapes :

$\displaystyle{\frac{5}{3}+\frac{4}{5}=\frac{5\times5}{3\times5}+\frac{5\times5}{3\times5}=\frac{25}{15}+\frac{12}{15}}$

Nous pouvons donc passer à l’addition des fractions entre-elles.

Etape 2 : Addition des fractions

Les dénominateurs étant identiques sur les deux fractions, nous pouvons donc les additionner sans difficulté.

De plus, pour additionner deux fractions, on additionne uniquement les numérateurs entre-eux :

$\displaystyle{\frac{25}{15}+\frac{12}{15}=\frac{25+12}{15}=\frac{37}{15}}$

Etape 3 : Fraction irréductible

En regardant le résultat trouvé précédemment, on observe que la fraction est déjà irréductible car aucun facteur commun ne peut être identifier entre le numération et le dénominateur de la fraction.

Voici donc le résultats de l’addition de ces deux fractions :

$\displaystyle{\frac{5}{3}+\frac{4}{5}=\frac{37}{15}}$

Correction de la question d)

$d) ~\displaystyle{\frac{8}{15}+\frac{5}{3}}$

Calcul complet de l’addition des fractions

Maintenant que nous sommes des pro dans l’addition des fractions, nous pouvons aller un peu plus vite dans les calculs des additions suivantes.

Dénominateurs différents : 15 et 3.

On sait que $3\times 5=15$

Voici donc ci-dessous le calcul complet :

$\displaystyle{\frac{8}{15}+\frac{5}{3}=\frac{8}{15}+\frac{5\times5}{3\times5}=\frac{8}{15}+\frac{25}{15}=\frac{8+25}{15}=\frac{33}{15}=\frac{11\times3}{5\times3}=\frac{11}{5}}$

Nous constatons que la fraction est maintenant irréductible. Nous avons donc terminé ce calcul.

$\displaystyle{\frac{5}{3}+\frac{4}{5}=\frac{37}{15}}$

Correction de la question e)

$e) ~\displaystyle{\frac{15}{35}+\frac{7}{2}}$

Etape 1 : Mettre les fractions au même dénominateur

Dénominateurs différents : 35 et 2.

D’abord, on peut remarquer que nous n’avons aucun facteur qui peut être commun à 2 et à 35. Dans ce cas, pour résoudre le problème, nous multiplions la première fraction par le dénominateur de la deuxième et nous multiplions la deuxième fraction par le dénomination de la première.

Voici donc ci-dessous le calcul :

$\displaystyle{\frac{15}{35}+\frac{7}{2}=\frac{15\times2}{35\times2}+\frac{7\times35}{2\times35}=\frac{30}{70}+\frac{245}{70}}$

Etape 2 : Addition des fractions

Les dénominateurs étant identiques sur les deux fractions, nous pouvons donc les additionner sans difficulté :

$\displaystyle{\frac{30}{70}+\frac{245}{70}=\frac{30+245}{70}=\frac{275}{30}}$

Etape 3 : Fraction irréductible

En regardant le résultat trouvé précédemment, on observe que la fraction n’est pas encore irréductible. Simplifions donc cette fraction.

On sait que $5\times 55=275$ et $5\times 6=30$

On remplace donc 275 par $5\times 55$ et 30 par $5\times 6$ dans la fraction :

$\displaystyle{\frac{5\times 55}{5\times 6}=\frac{55}{6}}$

Nous constatons que la fraction est maintenant irréductible. Nous avons donc terminé ce calcul.

Correction de la question f)

$f) ~\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{4}{3}+\frac{3}{4}}$

Calcul complet de l’addition des fractions

Essayons d’aller un peu plus vite dans les calculs des additions suivantes.

Dénominateurs différents : 2, 3 et 4.

On sait que $2\times 6=12$ et $3\times 4=12$ et $4\times 3=12$

Voici donc ci-dessous le calcul complet :

$\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{4}{3}+\frac{3}{4}=\frac{1\times 6}{2\times 6}+\frac{4\times4}{3\times4}=\frac{3\times3}{4\times3}=\frac{6}{12}+\frac{16}{12}+\frac{9}{12}=\frac{31}{12}}$

Nous constatons que la fraction est déjà irréductible. Nous avons donc terminé ce calcul.

Les exercice suivants sont à votre portée.

Un clique sur le bouton ci-dessous vous suffit pour vous entraîner sur l’exercice 2 qui porte sur la soustraction des fractions :

Accédez à l’Exercice 2 : Soustraction des fractions

Cliquez sur ce bouton pour résoudre l’exercice 3 qui vous permettra de devenir un expert sur la multiplication des fractions :

Voir l’Exercice 3 : Multiplication des fractions

Ce bouton vous permet d’accéder à l’exercice 4 où vous pourrez diviser des fractions comme un pro :

Découvrez l’Exercice 4 : Division des fractions