Je fais suite au cours sur les fonctions linéaires où nous avons appris la définition d’une fonction linéaire, ainsi que toutes les propriétés qui lui sont associées.

Correction des exercices de type brevet sur les fonctions linéaires.

Si vous souhaitez consulter le cours sur les fonctions linéaires, je vous invite à cliquer sur le boutons ci-dessous :

1. EXERCICE SUR IMAGE et ANTECEDENT :

Soit  f est la fonction linéaire de coefficient 2.

On la note : 

f:x \mapsto 2x

Ou

 f(x)=2x

Énoncé :

  1. Calculer l’image de 4.
  2. Calculez l’image de -1
  3. Puis, calculer l’antécédent de  f(x) lorsque  f(x)=2

Question :

Calculer l’antécédent de  f(x) lorsque  f(x)=2

Résolution de l’exercice :

Question N°1 :

D’abord, pour calculer l’image de 4, on doit lui appliquer la fonction  f(x) .

Cela signifie qu’on remplace  x par 4 dans la fonction  f(x) .

Pour  x=4 on a alors :  f(4) = 2 \times 4 = 8 .

Donc l’image de 4 est 8.

Question N°2 :

Pour calculer l’image de -1, on doit lui appliquer la fonction  f(x) .

Cela signifie qu’on remplace  x par -1 dans la fonction  f(x) .

Pour  x=-1 on a alors :  f(-1) = 2 \times (-1) = -2 .

Donc l’image de -1 est -2.

Question N°3 :

L’antécédent de f(x) c’est x !

Cela signifie qu’on doit calculer  x lorsque  f(x)=2

Donc, on remplace  f(x) par 2 dans la fonction.

Ce qui donne :  2x=2

Nous avons alors une équation du premier degré d’inconnue  x à résoudre.

Eh ça, on sait le faire !

 ~~~~~~~ 2x=2 \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~ x=\frac{2}{2} \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~ x=1

Donc l’antécédent de 2 est 1.


Remarque :

On peut regrouper ces résultats dans un tableau :

Le coefficient directeur des fonctions linéaires est équivalent à un coefficient de proportionnalité

C’est un tableau de proportionnalité. Et le coefficient de proportionnalité qui permet d’exprimer  f(x) en fonction de  x est 2 !

D’où l’égalité :  f(x)=2x .


2. EXERCICE – REPRESENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS LINEAIRES

Soit f la fonction linéaire définie par :  f : x \mapsto 3x

Question :

Tracer la fonction dans un repère.

Résolution :

Pour tracer cette fonction dans un repère, nous devons faire comme précédemment : calculer des points dans un tableau pour ensuite tracer ces points dans un repère.

Remarque : Pour avons uniquement besoin de 2 points pour tracer une droite. Vous n’êtes pas obligé d’en calculer plus que 2.

Point A :

Pour  x=-2 , on a  f(-2)=3 \times (-2) = -6

Point B :

Pour  x=2 , on a  f(2)=3 \times 2 = 6

On reporte ces points dans un tableau :

Toutes les fonctions linéaires peuvent être représentés par des tableaux de points.

Ensuite, on trace ces points dans une repère :

Nous n'avons besoin que de deux points pour tracer un fonction linéaire.

Puis, une fois les points insérés dans le repère, il ne reste plus qu’à tracé la droite qui relie les deux points A et B :

Une fois que les points sont reliés, on peut contempler une belle fonction linéaire de coefficient 3.

3. EXERCICE SUR LE SENS DE VARIATION :

Énoncé :

Soit f la fonction définie par le graphique ci-dessous :

  1. Calculer le coefficient directeur de f
  2. La fonction f est-elle décroissante ?

Résolution de l’exercice :

Question N°1 :

Pour calculer le coefficient directeur d’une droite, on peut considérer que l’équation de la droite  y=ax est une équation du premier degré d’inconnu « a » ; où a est le coefficient directeur de la droite.

Pour trouver la valeur de « a », nous devons résoudre l’équation en isolant « a » d’un seul côté de l’équation.

Nous avons alors :

 ~~~~~~~~~ y=ax \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~ \displaystyle \frac{y}{x}= \frac{ax}{x} \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~ a=\frac{y}{x}

A présent, nous pouvons se servir de la représentation graphique de la fonction linéaire en prenant un point au hasard sur la droite :

On peut voir sur le graphe que pour  x=1 alors  y=4 .

On remplace donc ces deux valeurs dans l’équation pour déterminer la valeur de « a » :

 ~~~~~~~~ \displaystyle a=\frac{y}{x} \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~ \displaystyle a=\frac{4}{1} \medskip \\ \Leftrightarrow ~~~~ a=4

Donc le coefficient directeur de f est égale à 4.

Question N°2 :

D’abord, pour savoir si la fonction f est décroissante, nous pouvons utiliser deux propriétés des fonctions linéaires :

  1. Si a<0, alors la fonction f est décroissante
  2. Si la droite affiche une pente descendante, alors les fonction f est décroissante.
  1. On sait maintenant que a=4.

Donc comme a>0, alors la fonction f n’est pas décroissante.

F est croissante.

2. Pour confirmer cela, on observe la droite sur le graphique est on remarque lorsqu’on pose notre doigt sur la courbe est qu’on se déplace vers la droite, notre doigt monte.

Ce qui signifie que la fonction f est croisante.

Enfin, si vous souhaitez tester vos connaissant très rapidement sur les fonctions linéaires, je vous invite à faire ce petit QCM.

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Note : 4.5 sur 5.