Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ? 4 Exercices

A quoi sert le théorème de Pythagore ?

La première chose à savoir est que le Théorème de Pythagore ne s’utilise que sur des triangles rectangles. C’est-à-dire des triangles qui possèdent un angle droit.

Si vous observez le triangle ci-dessous, vous pouvez déduire que le sommet A possède un angle droit.

Angle droit = angle de 90°

Triangle rectangle pour utiliser le théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore explication

Théorème rédigé en français :

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Théorème traduit en maths :

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors $BC^2 =AB^2 + AC^2$

Exemple : Calcul de la longueur de l’hypoténuse

Question :

Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que représente sur la figure ci-dessous :

Figure d'une triangle rectangle. Exercice sur le théorème de Pythagore

Calculer BC.
En donner la valeur arrondie au mm.

Résolution :

ABC est un triangle rectangle en A, donc j’utilise le théorème de Pythagore :

$BC^2=AB^2+AC^2 ~~~~~~ (1)$

On observe sur le triangle ci-dessus que AB = 3 cm et AC = 4 cm.

On peut donc remplacer les valeurs de AB et AC dans la formule (1).

$BC^2=3^2+4^2 \newline \Leftrightarrow BC^2=9+16 \newline \Leftrightarrow BC^2=25$

Maintenant, on voit que BC est au carré (BC²)

Vous devez absolument savoir que l’inverse du carré est la racine carrée. Cela veut dire que le carré et la racine carrée se simplifient lorsqu’ils sont ensemble. Donc, pour supprimer le carré qu’il y a sur BC, nous allons appliquer une racine carrée de chaque côté de l’équation.

C’est partie ! Insérons une racine carré !

$\sqrt{BC^2}=\sqrt{25}$

On remarque que le carré et la racine carrée sont utilisés en même temps : c’est-à-dire que BC est à la fois au racine et sous un racine carré. C’est à ce moment que le carré et la racine carrée se simplifient entre eux.

Allons-y ! Simplifions Carré et Racine dans l’équation (uniquement quand ils sont ensemble) !

$~~~~~ BC=\sqrt{25} \newline \Leftrightarrow \fbox {BC=5}$

Théorème Pythagore comment prouver qu’un triangle est rectangle ?

Réciproque du théorème de Pythagore rédigée en français :

Si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle.

Réciproque du théorème de Pythagore traduit en maths :

Triangle quelconque pour appliquer la réciproque du théorème de Pythagore

Si $BC^2 = AB^2 +AC^2$ ; alors ABC est rectangle en A.

Exemple 1 : Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?

Question :

Soit ABC un triangle est tel que AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.

Le triangle ABC est-il un triangle rectangle ?

Résolution :

Étape 1 : On identifie le côté le plus long

Ici, [BC] est le côté le plus long.

Donc [BC] est l’hypoténuse du triangle ABC

Étape 2 : On calcule la valeur de l’hypoténuse au carré et la somme des deux autres côtés au carré séparément.

$BC^2 = 5^2 =5 \times 5 =25 \newline AB^2 +AC^2 = 3^2 + 4^2 =3 \times 3 + 4 \times 4 =9 + 16 = 25$

Étape 3 : On compare les deux résultats

Les deux résultats sont égaux, donc $BC^2 = AB^2 +AC^2$ .

On peut alors conclure que le triangle ABC est rectangle en A, d’après la réciproque du théorème de Pythagore.

Attention !

Il faut comparer les valeurs exactes de ces deux nombres.

On ne peut pas prouver une égalité en utilisant des valeurs approchées !

Exemple 2 : Comment démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle ?

Question :

Soit ABC un triangle est tel que AB = 2 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.

Le triangle ABC est-il un triangle rectangle ?

Résolution :

Étape 1 : On identifie le côté le plus long

Ici, [BC] est le côté le plus long.

Donc [BC] est l’hypoténuse du triangle ABC.

Étape 2 : On calcule la valeur de l’hypoténuse au carré et la somme des deux autres côtés au carré séparément.

$BC^2 = 5^2 =5 \times 5 =25 \newline AB^2 +AC^2 = 2^2 + 4^2 =2 \times 2 + 4 \times 4 = 4 + 16 = 20$

Étape 3 : On compare les deux résultats

Les deux résultats ne sont pas égaux car 20 ≠ 25

Donc $BC^2 \ne AB^2 +AC^2$ .

Alors le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle d’après la réciproque du théorème de Pythagore.

Theoreme Pythagore exercice 3eme

Enoncé :

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 5 cm, BC = 13 cm

Questions :

Calculer la valeur exacte de AC.
En donner la valeur arrondie au mm.

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