Savoir décomposer une fonction linéaire, c’est important ! Surtout que cela est également utile en physique, en biologie, comptabilité, en ingénierie, en chimie… Bref partout !!!

Eh oui ! Les fonctions linéaires sont utiles partout et vous allez découvrir pourquoi dans cette leçon !

J’ai reçu un email d’un élève de mon programme d’entraînement au Brevet. Il m’a demandé s’il était possible de l’aider à comprendre les fonctions linéaires. Mais comme il s’est inscrit au « Pack Algèbre », je ne pouvais pas introduire cette explication dans ce pack car cela aurait désorganisé la construction de ce module d’enseignement. J’ai donc décidé d’en faire profiter tout le monde et d’envoyer le lien de cet article à Matéo. Alors Matéo cet article est pour toi. Voici comme demandé un cours sur les fonctions linéaires avec la définition, le vocabulaire et ses propriétés ainsi qu’un exercice d’application sur chaque notion.

Pour ne pas alourdir la longueur de cette leçon, la correction des exercices d’application sera postée sur une autre page web. Vous pourrez la consulter en cliquant sur les boutons indiqués à chaque exercice.

Graphique avec plusieurs fonctions linéaires

I. LES FONCTIONS LINÉAIRES :

1. DÉFINITION DE LA FONCTION LINEAIRE

Qu’est-ce qu’une fonction linéaire :

Soit «  a » un nombre fixé.

En associant à chaque nombre «  x » un nombre «  ax  », on définit une fonction linéaire de coefficient a.

2. FONCTION LINENAIRE – IMAGE ET ANTECEDENT

Notation :

On notera cette fonction ainsi :    f:x \mapsto ax

Sachez que

 f:x \mapsto ax

est équivalent à

 f(x)=ax

Les deux notations veulent dire la même chose.

Vocabulaire :

  •  f(x) est appelé l’image de  x
  •  x est appelé l’antécédent de  f(x)

Voici un pense-bête :

  • Si je me regarde de manière directe, je suis  x
  • Si je regarde mon image dans un miroir, alors je suis  f(x)

Comme je me regarde de manière indirecte par l’intermédiaire d’un miroir (ou d’un smartphone lorsque je fais un selfie), cela signifie que je dois appliquer une fonction image de moi pour voir l’image de moi à travers le miroir (ou l’écran du smartphone). 🤪

En mathématiques, c’est le même principe ! Nous devons applique une fonction à  x pour voir son image à travers la fonction.  


3. EXERCICE SUR IMAGE et ANTECEDENT :

Soit  f est la fonction linéaire de coefficient 2.

On la note :   

 f:x \mapsto ax

Ou

 f(x)=ax

Énoncé :

  1. Calculer l’image de 4.
  2. Calculez l’image de -1
  3. Puis, calculer l’antécédent de  f(x) lorsque  f(x)=2

Question :

Calculer l’antécédent de  f(x) lorsque  f(x)=2

Résolution de l’exercice :

Pour retrouver la correction cet exercice, rendez-vous sur un article dédié à la correction de tous les exercices de cette leçon. Pour cela, cliquez sur le bouton ci-dessous pour consulter le corrigé :


Remarque :

C’est dans la correction de l’exercice ci-dessus (accessible par le bouton) que vous comprendrez pour quelle raison le coefficient directeur de la fonction linéaire est équivalente à un coefficient de proportionnalité.


2. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION LINEAIRE :

1. PROPRIETE ET VOCABULAIRE :

Soit  f la fonction linéaire définie par :   f : x \mapsto ax

L’ensemble des points de coordonnées  (x ; ax) est appelé représentation graphique de la fonction linéaire.

Dans un repère, cette représentation est la droite passant par :

  • L’origine du repère.
  • Le point de coordonnées (1 ; a)

Remarque : Une fonction linéaire passe toujours par l’origine du repère.

On dit que cette droite a pour équation :  y = ax .

« a » est le coefficient directeur de la droite. Il représente « l’inclinaison » de la droite.

2. EXERCICE – REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION LINEAIRE

Soit  f la fonction linéaire définie par :  f : x \mapsto 3x

Question :

Tracer la fonction dans un repère.

Résolution :

Si vous souhaitez voir la correction de cet exercice, cliquez sur le bouton ci-dessous pour apprendre tracer une fonction linéaire sur un graphique :

3. SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION LINÉAIRE :

1. PROPRIETE SUR LE SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION LINEAIRE:

Soit la fonction  f définie par :  f : x \mapsto ax

Propriété :

  • Si a>0 alors la fonction linéaire est croissante ;
  • Si a<0 alors la fonction linéaire est décroissante.

Voici ci-dessous la représentation de plusieurs fonctions linéaires de coefficient directeur a positif :

Si le coefficient directeur est positif, alors la fonction linéaire est croissante.

On peut également remarquer que lorsque le coefficient directeur a est positif, les droites montent vers le haut. Ce qui signifie que la fonction linéaire est croissante.

Ensuite, vous pouvez observer ci-dessous la représentation de plusieurs fonctions linéaires de coefficient directeur a négatif :

Si le coefficient directeur est négatif, alors la fonction linéaire est décroissante.

En analysant ce graphique ci-dessus que lorsque le coefficient directeur a est négatif, les droites ont une pente descendante. Ce qui signifie que la fonction est décroissante.

Remarque :

Si a = 0, la représentation la droite se confond avec l’axe des abscisses.

2. EXERCICE SUR LE SENS DE VARIATION :

Énoncé :

Soit  f la fonction définie par le graphique ci-dessous :

  1. Calculer le coefficient directeur de  f
  2. La fonction  f est-elle décroissante ?

Résolution de l’exercice :

C’est le moment d’apprendre à calculer le coefficient directeur d’une fonction linéaire. Pour voir le corrigé de cet exercice, cliquez sur le bouton ci-dessous :

Enfin, si vous voulez tester vos connaissant très rapidement sur les fonctions linéaires, je vous invite à consulter ce petit QCM qui vous donnera vos score de réussite après avoir répondu à toutes les questions.

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