FRACTIONS - Astuces pour être au top dans vos connaissances

Les fractions sont une notion essentielle pour la suite de votre scolarité. En effet, la manipulation des fractions est une notion de base qui sera utilisée pendant toutes vos études :

Même au lycée
Et également après (BTS, Université, FAC,…)

Cette courte leçon vous permet de revoir les notions principales et indispensables sur les fractions. Après avoir lu ce qui suit, vous serait capable :

D’additionner et de soustraire des fractions sans faire d’erreur
Et de multiplier et de diviser des fractions sans jamais plus vous tromper

Numérateur et dénominateur

Pour faire simple, le numérateur est le nombre au-dessus de la barre de fraction. La flèche pointe le numérateur d’une fraction dans l’image ci-dessous :

Le dénominateur est le nombre en dessous de la barre de fraction. La flèche pointe le dénominateur de la fraction dans l’image ci-dessous :

Additionner les fractions

Tout d’abord, pour additionner deux fractions, vous devez absolument vous assurer que les fractions soient au même dénominateur. Nous mettons deux fractions au même dénominateur à l’aide des multiples communs.

Exemple :

On souhaite additionner les fractions suivantes :

$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

Etape 1 : Mettre les fractions au même dénominateur

En premier lieu, on peut remarquer que les deux dénominateurs sont différents ; ici 2 et 4.

En ce sens, pour obtenir les mêmes dénominateurs, nous devons trouver un facteur commun aux deux chiffres.

Ici, on sait que $4 =2\times 2$

On peut donc multiplier par 2 la première fraction pour la mettre au même dénominateur que la deuxième fraction.

MAIS ATTENTION !

Lorsqu’on multiplie le dénominateur par un nombre, nous devons obligatoirement multiplier le numérateur par ce même nombre :

$\frac{1\times2}{2\times2}+\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$

Etape 2 : Additionner les fractions

Les dénominateurs étant maintenant identiques sur les deux fractions, nous pouvons les additionner sans problème.

En premier lieu, pour additionner deux fractions, on additionne uniquement les numérateurs ensembles :

$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{2+3}{4}=\frac{5}{4}$

Soustraire des fractions

Pour soustraire deux fractions, il suffit de procéder de la même façon que pour additionner deux fractions :

Les mettre au même dénominateur
Puis, soustraire les deux numérateurs ensemble

Exemple :

On souhaite soustraire les fractions suivantes :

$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

Comme précédemment, on obtient les mêmes dénominateurs en trouvant un facteur commun aux deux chiffres.

Etape 1 : Mettre les fractions au même dénominateur

Premièrement, les dénominateurs de ces deux fractions sont différents ; ici 2 et 3.

Pour obtenir les mêmes dénominateurs, nous devons trouver un facteur commun aux deux chiffres.

Ici, on sait que $6 =2\times 3$

On peut donc en déduire que le dénominateur commun de ces deux fractions est 6. On souhaite donc mettre ces deux fractions sur un même dénominateur qui est ici : 6.

Puis, pour mettre la première fraction sur le dénominateur 6, nous devons la multiplier par 3 en haut et en bas :

$\frac{1}{2}=\frac{1\times3}{2\times3}=\frac{3}{6}$

Pour la deuxième fraction, nous devons multiplier la fraction par 2 en haut et en bas :

$\frac{1}{3}=\frac{1\times2}{3\times2}=\frac{2}{6}$

Observons maintenant le calcul complet avec toutes les étapes :

$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1\times3}{2\times3}-\frac{1\times2}{3\times2}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}$

Etape 2 : Soustraire les fractions

D’abord, que les dénominateurs sont identiques sur les deux fractions, nous pouvons les soustraire sans difficulté.

Pour soustraire deux fractions, on soustrait les numérateurs ensembles :

$\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$

Multiplier des fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Exemple :

On souhaite soustraire les fractions suivantes :

$\frac{3}{2} \times \frac{2}{6}$

Etape 1 : Multiplier les fractions

Multiplions alors ces deux fractions ensemble :

$\frac{3}{2} \times \frac{2}{6}=\frac{3\times 2}{2\times 6}=\frac{6}{12}$

Etape 2 : Fraction irréductible

En regardant le résultat trouvé précédemment, on observe que la fraction peut encore être réduite :

Une fraction qui n’est pas réduite à son maximum, est dite non-irréductible.
Et bien sûr, dans le sens inverse : une fraction qui ne peut pas être simplifiée car elle déjà réduite à son maximum est une fraction irréductible.

En analysant cette fraction, on constate que :

$12=2 \times 6$

Si on remplace alors 12 par $2 \times 6$ dans la fraction, on a :

$\frac{6}{12}=\frac{6}{2\times6}$

On peut enfin simplifier la fraction par 6 en haut et en bas de la fraction :

$\frac{6}{2\times6}= \frac{1}{2}$

Diviser des fractions

D’abord, pour être capable de diviser deux fractions, vous devez connaître la notion d’inverse.

Inverse d’un nombre ou d’une fraction :

Tout déterminer l’inverse d’une fraction, on la retourner tout simplement :

L’inverse de $\frac{3}{2}$ est $\frac{2}{3}$

Et, l’inverse de $-\frac{3}{4}$ est $-\frac{4}{3}$

Puis, l’inverse de $\frac{1}{3}$ est $\frac{3}{1}=3$

Et comme on sait que $2=\frac{2}{1}$ et que $3=\frac{3}{1}$ et que $4=\frac{4}{1}$

Alors :

L’inverse de 2 qui est égale à $2=\frac{2}{1}$ est $\frac{1}{2}$

Et, l’inverse de 7 qui est égale à $7=\frac{7}{1}$ est $\frac{1}{7}$

Exercice :

On souhaite diviser les fractions suivantes :

$\frac{3}{2} \div \frac{2}{6}$

Etape 1 : Multiplier par l’inverse

Pour diviser une fraction par un nombre non nul, on doit la multiplier par l’inverse du nombre non nul.

Divisons alors ces deux fractions ensemble :

$\frac{3}{2} \div \frac{2}{6}=\frac{3}{2} \times \frac{6}{2}$

Attention on recopie la première fraction et seule la 2ème fraction est inversée !

Etape 2 : Calcul de la multiplication

Maintenant que nous avons affaire à une multiplication, on peut utiliser les règles de la multiplication des fractions :

$\frac{3}{2} \times \frac{6}{2}=\frac{3\times 6}{2\times 2}=\frac{18}{4}$

Etape 3 : Fraction irréductible

En regardant le résultat trouvé précédemment, on observe que la fraction peut encore être simplifiée.

En regardant d’un peu plus près, on constate que :

$18=2 \times 9 \\ 4=2 \times 2$

Si on remplace alors 18 par $2 \times 9$ dans la fraction et 4 par $2 \times 2$ dans la fraction, on a :

$\frac{18}{4}=\frac{2 \times 9}{2\times2}$

On peut alors simplifier la fraction par 2 en haut et en bas de la fraction : $\frac{2\times 9}{2\times2}= \frac{9}{2}$

A vos crayon !

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