Qu’est-ce que la trigonométrie ?

Quand j’avais votre âge, je me suis souvent demandé : Que veut dire « trigonométrie » ?

Pour savoir ce qu’est la trigonométrie, il faut décomposer ce mot pour en déterminer sa signification.

Le mot trigonométrie peut être décomposé en deux mots :

  • Trigone
  • Métrie

Trigone

Trigone = c’est l’autre nom du triangle.

Un trigone est, tout simplement, une figure qui possède trois côtés ; de la même manière qu’un hexagone est une figure qui possède 6 côtés.

Donc le mot trigone est un synonyme de triangle. On l’utilise plus rarement que la dénomination de triangle.

Métrie

La « métrie » c’est la mesure.

On peut comparer cela à un mètre qui est une unité de mesure.

Définition

La trigonométrie est une partie de la Géométrie qui étudie la mesure des triangles.

En trigonométrie on mesure les valeurs les côtes et des angles des triangles.

Quand utiliser la trigonométrie ?

Pourquoi les triangles ont-ils le privilège d’avoir une discipline pour eux tous seuls ?

Car soyons honnêtes ! Il n’existe pas de « Cerclométrie » et il n’existe pas non plus de « Carrénométrie ».

Eh bien, c’est parce que grâce aux triangulations, les triangles permettent d’étudier toutes les autres figures géométriques. Donc une seule discipline suffit pour étudier toutes les autres.

Pour étudier les autres figures géométrie, il nous suffira de découper ces figures en plusieurs triangles et à étudier les triangles qui en résultent.

Observez cet hexagone ci-dessous :

On ne sait pas étudier cet hexagone car il est trop complexe. Et pourtant, on peut l’étudier assez simplement en le décomposant en plusieurs triangles.

Observez maintenant le même hexagone découpé en plusieurs triangles :

On peut maintenant étudier tous ces triangles très facilement. Et, cela revient à étudier l’hexagone lui-même. En effet, en réalisant quelques calculs sur chaque triangle, on peut calculer assez simplement les longueurs des cotés de l’hexagone, puis les angles.

Trigonométrie comment utiliser ?

Il existe plusieurs cas de figure, qui nous permettent de d’utiliser la trigonométrie :

  • Soit, vous connaissez la valeur de 2 côtés. Dans ce cas, vous pouvez en déduire la valeur de n’importe quel angle du triangle.
  • Soit, vous connaissez la valeur d’un côté et d’un angle. Dans de cas, vous pouvez en déduire la valeur de n’importe quel côté du triangle.

Trigonométrie – formules

Hypothèses

Triangle rectangle permettant de faire de la trigonométrie

En observant le triangle ci-dessus, on peut en déduire plusieurs affirmations :

  • ABC est un triangle rectangle en A.
  • L‘hypoténuse de ce triangle est [BC].
  • L’hypoténuse est le côté le plus long du triangle.
  • [BA] est le côté adjacent à l’angle  \widehat{b} .
  • [AC] est le côté opposé à l’angle  \widehat{b} .

Avant d’utiliser les trois formules de trigonométrie qui vont suivre, il faut s’assurer que le triangle ABC soit rectangle.

Propriétés

Sinus d’un angle

Dans le triangle ABC rectangle en A, on appelle sinus de l’angle  \widehat{b} et on note  \sin \widehat{b} le nombre défini par :

 ~~~~~~ \displaystyle \sin \widehat{b}=\frac{ c\widehat{o}t\acute{e}~oppos\acute{e}~\grave{a}~\widehat{b}}{hypoth\acute{e}nuse} \medskip \\ \Leftrightarrow ~ \displaystyle \sin \widehat{b}=\frac{AC}{BC}

Cosinus d’un angle

Dans le triangle ABC rectangle en A, on appelle cosinus de l’angle  \widehat{b} et on note  \sin \widehat{b} le nombre défini par :

 ~~~~~~ \displaystyle \cos  \widehat{b}=\frac{ c\widehat{o}t\acute{e}~adjacent~\grave{a}~\widehat{b}}{ hypoth\acute{e}nuse} \medskip \\ \Leftrightarrow ~ \displaystyle \cos \widehat{b}=\frac{BA}{BC}

Tangente d’un angle

Dans le triangle ABC rectangle en A, on appelle tangente de l’angle  \widehat{b} et on note  \tan \widehat{b} le nombre défini par :

 ~~~~~~ \displaystyle \tan  \widehat{b}=\frac{ c\widehat{o}t\acute{e}~oppos\acute{e}~\grave{a}~\widehat{b}}{ c\widehat{o}t\acute{e}~adjacent~\grave{a}~\widehat{b}} \medskip \\ \Leftrightarrow ~ \displaystyle \tan \widehat{b}=\frac{AC}{AB}

Méthode pour vérifier votre résultat

Toutes ces affirmations sont vraies et doivent être apprises par coeur :

  • Le sinus est un nombre sans unité, inférieur à 1, puisque l’hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle.
  • Le cosinus est un nombre sans unité, inférieur à 1, puisque l’hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle.
  • La tangente est un nombre sans unité, qui peut être plus grand ou plus petit que 1 en fonction des longueurs du côté adjacent et du côté opposé.

Trigonométrie exercices corrigés 3ème

Énoncé

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que

 AB = 5~ cm ~~et~~ \widehat{ABC} = 30^{\circ}

Questions

  1. Calculer la valeur de BC
  2. Calculer la valeur de AB

Si vous souhaitez consulter la correction gratuite de cet exercice, vous pouvez cliquer sur le bouton ci-dessous :


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