Il y a plusieurs façons de trouver tous les diviseurs d’un nombre. Mais je pense que la façon la plus facile et la plus intuitive est d’utiliser la méthode dite de l’arc-en-ciel. Une fois que vous aurez acquis la méthodologie de base de cette technique, soyez certain que vous vous en souviendrez pendant longtemps.

Ce n’est pas l’ingéniosité de cette méthode qui la rend pédagogique, c’est son aspect visuel.

Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre à l’aide de la méthode de l’arc-en-ciel ?

On souhaite déterminer tous les diviseurs d’un nombre A.

Etape 1 : 9 premiers entiers

Tout d’abord, écrivez les neuf premiers entiers naturels :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Etape 2 : Divisions successives

Nous allons tenter de diviser chacun de ces neuf chiffres ci-dessus par le nombre A pour trouver les diviseurs de A.

Commencez par diviser le nombre A par 1, qui est le premier chiffre de votre liste :

A\div1=A

Votre première paire de diviseurs sera alors 1 et le nombre A lui-même.

Ne vous inquiétez pas, car c’est toujours le cas. Un nombre est toujours divisible par 1 et lui-même.

Vous pouvez maintenant écrire les deux premiers diviseurs avec suffisamment d’espace entre eux.

Méthode de l'Arc-en-ciel. La première paire de diviseurs d'un nombre. Les deux diviseurs sont reliés par paires par un arc de l'Arc-en-ciel

Ensuite, passez au chiffre suivant sur la liste, qui est 2, pour tester si vous pouvez aussi obtenir une paire de diviseurs.

Comment sait-on si 2 est un diviseur de A ?

2 est un diviseur de A si on obtient un nombre entier B lorsqu’on divise A par 2.

A\div2=B               où B est un entier

A cette étape, deux issues sont possibles :

  1. B est un entier
  2. B n’est pas un entier

1) Si B est un entier

Si B est un entier alors 2 et B sont tous les deux des diviseurs de A.

Et, vous pouvez donc écrire les deux diviseurs suivants entre les deux autres :

Méthode de l'Arc-en-ciel. Les deux premières paires de diviseurs d'un nombre sont représentée. Les diviseurs sont reliés par paires chacun par un arc de l'Arc-en-ciel et chacun d'une couleur de l'arc-en-ciel.

2) Si B n’est pas un entier

Si B est un chiffre à virgule alors 2 n’est pas un diviseur de A.

Vous ne pouvez donc pas obtenir une nouvelle paire de diviseurs, et vous ne pouvez donc pas les reporter dans la liste des diviseurs :

Méthode de l'Arc-en-ciel. La première paire de diviseurs d'un nombre. Les deux diviseurs sont reliés par paires par un arc de l'Arc-en-ciel.

Passez au chiffre suivant de votre liste qui est le 3.

Etape 3 : Tous les diviseurs

Vous répéterez ce processus jusqu’au chiffre 9 ; et ce jusqu’à ce que vous ayez trouvé tous les diviseurs du nombre A.

On tente avec le chiffre 3 pour savoir s’il est un diviseurs de A :

3 et C sont des diviseurs de A. Donc nous devons les reporter dans le diagramme ci-dessous :

Méthode de l'Arc-en-ciel. Les trois premières paires de diviseurs d'un nombre sont représentée dans un diagramme en forme d'arc-en-ciel. Tous les diviseurs sont reliés par paires chacun par un arc de l'Arc-en-ciel et chacun d'une couleur de l'arc-en-ciel.

Si vous souhaitez aller plus loin sur les diviseurs, les nombres premiers et les PGCD de deux nombres, vous pouvez suivre notre programme d’entrainement à l’Arithmétique :


Puis, on test le chiffre 4 :

On test le chiffre 4, sauf si le chiffre 4 a déjà été inscrit dans le diagramme en Arc-en-ciel. Si c’est le cas, on s’arrête là !

On continue les divisions successives si le chiffre 4 n’apparaît pas encore dans le diagramme arc en ciel.

4 et D sont des diviseurs de A, donc on les écrit dans le diagramme :

Méthode de l'Arc-en-ciel. Les 4 premières paires de diviseurs d'un nombre sont représentée dans un diagramme en forme d'arc-en-ciel. Tous les diviseurs sont reliés par paires chacun par un arc de l'Arc-en-ciel et chacun d'une couleur différente de l'arc-en-ciel.

Le chiffre 5 est-il un diviseurs de A ?

Ensuite, on test le chiffre 5, sauf si le chiffre 5 a déjà été inscrit dans le diagramme en Arc-en-ciel. Si c’est le cas, on s’arrête là !

On continue la méthode si le chiffre 5 n’apparaît dans le diagramme.

5 et E sont des diviseurs de A, alors on les insère dans le diagramme :

Méthode de l'Arc-en-ciel. Les cinq premières paires de diviseurs d'un nombre sont représentée dans un diagramme en forme d'arc-en-ciel. Tous les diviseurs sont reliés par paires chacun par un arc de l'Arc-en-ciel et chacun d'une couleur différente de l'arc-en-ciel.

Et… on continue jusqu’au chiffre 9, sauf si le chiffre 9 a déjà été insérer dans le diagramme en Arc-en-ciel.

Remarques sur la méthode de l’arc-en-ciel :

Cette méthode ne fonctionne que lorsque nous cherchons à déterminer les diviseurs d’un nombre inférieur à 100.

Mais il est très facile d’extrapoler cette méthode pour qu’elle fonctionne pour les grands nombres. Il suffit de continuer à tester les chiffres plus loin que le chiffre 9.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, 13, 14, 15,…

La meilleure façon d’apprendre cette méthode de l’arc-en-ciel est de faire quelques exemples applications numériques.


Vous souhaitez mettre en application cette courte leçon ? Lisez ces articles qui s’apparente à un exercice corrigé où vous allez apprendre à :

  • déterminer tous les diviseurs de 18 par la méthode de l’Arc en ciel :
  • déterminer tous les diviseurs de 99 par la méthode de l’Arc en ciel :

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