J’ai reçu un nombre assez conséquent d’interrogations sur la manière de calculer tous les diviseurs de 99. Un grand nombre de mails, issus des programmes d’entraînement au Brevet, me sont parvenu sur ce sujet. Habituellement je réponds aux élèves inscrits aux programmes. Mais je vais cette fois-ci répondre à tous mes lecteurs car cette question est importante.

Comment peut-on calculer tous les diviseurs de 99 ?

Ne cherchez plus ! Je vais vous montrer une méthode que vous aller pouvoir appliquer tout le temps ! C’est la méthode du diagramme en Arc-en-ciel.

C’est parti !

Etape 1 : Les 9 premiers entiers

Dans un premier temps, listez les neuf premiers entiers naturels :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Etape 2 : Divisions successives

A cette étape, vous devez diviser le nombre 99 par chacun des neuf entiers naturels listés ci-dessus pour trouver les diviseurs de 99.

Nous allons débuter en divisant le nombre 99 par 1, qui est le premier chiffre de votre liste :

99\div1=99

Nous avons trouvé notre première paire de diviseurs :

1 et le nombre 99 lui-même.

A l’étape 1, pas besoin de réfléchir, car c’est tout le temps la même chose. Un nombre est toujours divisible par 1 et lui-même.

Nous sommes donc en mesure d’insérer les deux premiers diviseurs avec suffisamment d’espace entre eux dans le diagramme en Arc-en-ciel ci-dessous.

Voici une illustration représentant les deux premiers diviseurs de 99. Le deux diviseurs sont reliés par un arc d'une couleur de l'arc en ciel.

Il est temps de passez au chiffre suivant de la liste de 9 premiers entiers que nous avons inscrit à l’étape 1, qui est 2. Nous allons vérifier si nous pouvons obtenir une deuxième paire de diviseurs.

Comment être sûr que le chiffre 2 est un diviseur de 99 ?

2 est un diviseur de 99 uniquement si nous obtenons un nombre entier lorsqu’on divise 99 par 2.

99\div2=49,5

49,5 est est un chiffre à virgules, donc 2 et 49,5 ne sont pas des diviseurs de 99.

Il nous est alors impossible d’insérer ces nombres dans le diagramme en arc en ciel.

Passez au chiffre suivant de votre liste qui est le 3.

Etape 3 : Le reste des diviseurs de 99

Nous devons à présent répéter ce processus jusqu’au chiffre 9. Nous nous arrêtons au moment où nous aurons trouvé tous les diviseurs du nombre 99.

a) 3 est-il un diviseurs de 99 ?

Divisons 99 par 3 :

99\div3=33

33 est un entier naturel, donc 3 et 33 sont des diviseurs de 99. Inscrivons-les dans le diagramme au milieu des autres :

Voici une illustration représentant les quatre premiers diviseurs de 99. Chaque paire de diviseurs est reliée par un arc d'une couleur de l'arc en ciel.

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b) On test le chiffre 4 :

Est-ce que 99 est divisible par 4 ?

99\div4=24,75

24,75 est un chiffre à virgules. On peut donc en déduire que 4 et 24,75 ne sont pas des diviseurs de 99.

On n’avons donc pas la possibilité de les écrire dans le diagramme. Le diagramme en arc-en-ciel reste donc inchangé.

c) Le chiffre 5 est-il un diviseurs de 18 ?

Examinons de plus près le chiffre 5, sauf si le chiffre 5 a déjà été inscrit dans le diagramme en Arc-en-ciel. Si c’est le cas, on s’arrête là !

Le chiffre 5 n’apparaît pas encore dans le diagramme alors, on continue.

99\div5=19,8

Comme 19,8 n’est pas un entier, alors 5 et 19,8 ne sont pas des diviseurs de 99.

d) On test le chiffre 6

Divisons 99 par 6 :

99\div6=16,5

16,5 est un chiffre à virgule, dons 6 et 16,5 ne sont pas non plus des diviseurs de 99.

Le diagramme reste inchangé.

e) Passons au chiffre 7

On effectue la division du nombre 99 au chiffre 7.

99\div7=14,143

14,143 ne sont pas des entiers naturels. Cela signifie que 7 et 14,143 ne sont pas des diviseurs 99.

Nous ne modifions pas le diagramme arc en ciel et nous poursuivons.

f) 8 est-il un diviseur de 99 ?

Nous persévérons et nous allons tenter la division de 99 par 8 :

99\div8=12,375

12,375 et 8 sont des chiffres à virgule. Ce qui prouve que 8 et 12,375 ne sont pas des diviseurs du nombre 99.

g) Peut-on découvrir encore d’autres diviseurs de 99 ?

Il nous reste encore un chiffre à utiliser pour terminer la méthode : le chiffre 9 :

99\div9=11

11 est effectivement un entier naturel. Il est à présent possible de conclure que 9 et 11 sont des diviseurs de 99.

Vous avez réussi à découvrir notre dernière paire de diviseurs. Insérons alors 9 et 11 dans le diagramme :

Voici une illustration représentant les quatre premiers diviseurs de 99. Chaque paire de diviseurs est reliée par un arc d'une couleur de l'arc en ciel.

Nous avons fait le tour de tous les chiffres de notre liste des entiers naturels de l’étape 1. Tous les diviseurs de 99 ont été trouvés.

Vous avez fini !

Etape 4 : Remarques importantes :

Je vous invite également à consulter un article qui s’apparente à une courte leçon sur les diviseurs.

Le plus important pour vous est de bien comprendre les limites de cette méthode. Vous allez apprendre dans cet article que cette méthode ne s’applique pas partout et surtout qu’elle peut être généralisée facilement.

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