Connaissez-vous la probabilité du jeu de cartes ? Combien de chance avez-vous de gagner lorsque vous jouer au Black Jack de tirer la bonne carte ? Celle qui va vous faire gagner au Casino !

Je vais vous dévoiler une méthode, ci-dessous, pour calculer une probabilité sans aucune erreur possible ! C’est une méthode qui est utilisée partout dans le mondes des mathématiques.  

Une fois qu’on la assimilée ! Cette méthode est facile à mettre en oeuvre !

Elle peut être comprise par tout le monde ! Même un débutant n’ayant jamais fait de probabilité auparavant.

Avant de continuer cette exercice corrigé, je vous conseille consulter le cours synthétique sur les probabilités.

Cette leçon d’introduction vous permettra ainsi d’avoir une définition claire de la probabilité et vous découvrirez un petit exemple pratique de chaque définition de tous les mots de vocabulaire qui sont utilisés dans cette correction d’exercice.

Consultez cette courte leçon et revenez ici avec des connaissances solide pour comprendre à 100% ce corrigé :

Exercice : Probabilité du jeu de cartes

Nous sommes au Casino. Nicolas s’avance devant une table de jeu où se dresse un croupier qui lui propose de jouer Black Jack. Le croupier utilise un jeu de 52 cartes. Le croupier pioche une carte pour moi.

Question :

Quelle est la probabilité de piocher un Roi ?

Photo d'une table de Black Jack. Au fur et à mesure qu'on pioche les cartes, on calcule la probabilité du jeu de cartes.

Etape 1 : L’univers

On détermine l’univers.

J’ai la possibilité de piocher :

  • soit As de coeur
  • ou soit un 2 de coeur,
  • et soit un 3 de coeur,
  • un 4 de coeur,
  • soit un 5 de coeur,…

Nous pouvons continuer jusqu’à avoir fait le liste de toutes les cartes du jeu. Si nous avons la possibilité de piocher l’une des 52 cartes du jeu, c’est parce que c’est ça l’Univers du jeu.

Nous allons donc tenter de représenter l’Univers de façon mathématiques. L’Univers est contient donc les 52 cartes du jeu de cartes :

Ω = { As de cœur, Roi de cœur , Dame de cœur , Valet de cœur , 10 de cœur , 9 de cœur , 8 de cœur , 7 de cœur , 6 de cœur , 5 de cœur , 4 de cœur , 3 de cœur , 2 de cœur , As de carreau, Roi de carreau , Dame de carreau , Valet de carreau , 10 de carreau , 9 de carreau , 8 de carreau , 7 de carreau , 6 de carreau, 5 de carreau , 4 de carreau , 3 de carreau , 2 de carreau, As de trèfle, Roi de trèfle , Dame de trèfle, Valet de trèfle , 10 de trèfle , 9 de trèfle , 8 de trèfle , 7 de trèfle , 6 de trèfle , 5 de trèfle , 4 de trèfle , 3 de trèfle , 2 de trèfle , As de pique, Roi de pique , Dame de pique , Valet de pique , 10 de pique , 9 de pique , 8 de pique , 7 de pique , 6 de pique , 5 de pique , 4 de pique , 3 de pique , 2 de pique }

Etape 2 : L’évènement E

On cherche, en premier lieu, les possibilités que l’évènement E se réalise.

Dans la question : Quelle est la probabilité de piocher un Roi ? Nous pouvons extraire l’évènement : « Piocher un Roi ». L’évènement E se réalise dès je pioche un Roi et peu importe le roi que pioche. L’évènement de ce jeu est alors composé des quartes Rois du jeu.

Et c’est tout !

Nous pouvons donc écrire l’évènement E :

E = { Roi de cœur , Roi de Pique , Roi de trèfle , Roi de carreau }

Etape 3 : Probabilité du jeu de cartes

Pour calculer la probabilité du jeu de cartes, nous devons calculer la Probabilité de l’évèneùent E : « Piocher un Roi ».

La probabilité que l’évènement E se réalise s’écrit : P(E)

On a alors la Formule suivante :

\displaystyle{P(E)=\frac {Nombre ~ elements ~ dans ~ E} {Nombre ~ elements ~ dans ~ \Omega}}

Etape 3.1 : Le Numérateur

Analysons dans un premier temps le Numérateur de la fraction : « Nombre d’éléments dans E »

Nous pouvons dès à présent facilement en déduire le nombre d’éléments à l’intérieur de l’événement E :

E = { Roi de cœur , Roi de Pique , Roi de trèfle , Roi de carreau }

Si on considère que « Roi de cœur » est un élément et « Roi de Pique » est un autre élément. On peut alors compter 4 éléments dans E : «  Roi de cœur », « Roi de Pique », « Roi de trèfle », « Roi de carreau  ».

On est donc maintenant capable d’écrire :

Nombre d’éléments dans E = 4

Ensuite, remplaçons, dans un deuxième temps, cette affirmation au numérateur de la Formule de la Probabilité :

\displaystyle{P(E)=\frac {4} {Nombre ~ elements ~ dans ~ \Omega}}

Etape 3.2 : Le Dénominateur

Passons à présent au Dénominateur de la fraction : « Nombre d’éléments dans Ω »

Nous avons déjà déterminé Ω :

Ω = { As de cœur, Roi de cœur , Dame de cœur , Valet de cœur , 10 de cœur , 9 de cœur , 8 de cœur , 7 de cœur , 6 de cœur , 5 de cœur , 4 de cœur , 3 de cœur , 2 de cœur , As de carreau, Roi de carreau , Dame de carreau , Valet de carreau , 10 de carreau , 9 de carreau , 8 de carreau , 7 de carreau , 6 de carreau, 5 de carreau , 4 de carreau , 3 de carreau , 2 de carreau, As de trèfle, Roi de trèfle , Dame de trèfle, Valet de trèfle , 10 de trèfle , 9 de trèfle , 8 de trèfle , 7 de trèfle , 6 de trèfle , 5 de trèfle , 4 de trèfle , 3 de trèfle , 2 de trèfle , As de pique, Roi de pique , Dame de pique , Valet de pique , 10 de pique , 9 de pique , 8 de pique , 7 de pique , 6 de pique , 5 de pique , 4 de pique , 3 de pique , 2 de pique }

Si on compte tout ce qu’il y a à l’intérieur des accolades, on peut, par conséquent, affirmer que Ω contient, au total, 52 éléments : C’est évidemment les 52 cartes du jeu. Nous sommes donc capable de d’écrire l’égalité suivante :

Nombre d’éléments dans Ω = 52

C’est parti !! Remplaçons ce nombre au dénominateur de la formule de la Probabilité :

\displaystyle{P(E)=\frac {4} {52}}

Nous avons réussi à déterminer la probabilité de piocher un Roi.

Mais attention !!

Cette fraction n’est pas irréductible !

Bravo pour celles et ceux qui l’avais remarqué avant que je le dise !

Etape 3.3 : Fraction irréductible

Pour rendre cette fraction irréductible nous devons trouver des diviseurs communs à 4 et 52.

Pour en savoir plus sur la manière de dresser la liste de tous les diviseurs d’un nombre, je vous invite à consulter cet article qui est une courte leçon sur les diviseurs d’un nombre :


Et, si vous souhaitez vous perfectionner sur les diviseurs, les nombres premiers, les PGCD de deux nombres et également la maîtrise de tableurs Excel, vous pouvez vous inscrire au programme d’entrainement à l’Arithmétique :


Passons maintenant à la réduction de cette fraction :

Ici c’est très simple : Nous savons que : 52 = 13 \times 4

Nous pouvons donc écrire que :

\displaystyle{P(E) =\frac {4} { 52 } =\frac {4} { 13 \times 4 }}

On remarque maintenant que l’on a un chiffre 4 en haut et en bas de la fraction. Cela signifie, par conséquent, que nous pouvons simplifier ce chiffre 4 au numérateur et au dénominateur :

\displaystyle{P(E)=\frac {\cancel{4}} { 13 \times \cancel{4} }}

\displaystyle{P(E)=\frac {1} { 13 }}

Nous avons alors une chance sur 13 de piocher un Roi.

Ensuite, comme \displaystyle{\frac {1} {13}}  est égale à 0,077 : nous pouvons confirmer que le résultat de la probabilité est effectivement compris entre 0 et 1.

\displaystyle{P(E)=\frac {1} { 13 } \approx 0,077 }

Ce qui nous prouve qu’on ne s’est pas trompé !

Enfin, si nous souhaitons obtenir le résultat sous la forme d’un pourcentage, nous devons le multiplier par 100 :

P(E)=0,077 \times 100

P(E) = 7,7 \%

Pour conclure, nous avons seulement 7,7% de chance de Piocher un Roi.

Articles récemment consultés